Matrices de Vandermonde

Last updated on Nov 12, 2025

Una matriz de Vandermonde es una matriz que convierte un polinomio de su representación de coeficientes a su representación de valores en un conjunto de puntos.

Para un polinomio $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{k - 1} x^{k - 1}$ con su representación de coeficientes:

𝐚 = [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{k - 1} \end{matrix}]

La matriz de Vandermonde lo evalúa en $k$ puntos distintos como una sola operación.

Evaluación de un polinomio como producto matricial

Por simplicidad, asumimos que $k = 4$ , por lo que tenemos un polinomio de grado $k - 1 = 3$ .

Evaluación en un solo punto

La evaluación del polinomio $f (x)$ en el punto $x_{0}$ es:

f (x_{0}) = a_{0} + a_{1} \cdot x_{0} + a_{2} \cdot x_{0}^{2} + a_{3} \cdot x_{0}^{3}

Esto se puede escribir como un producto matricial: multiplicando una matriz de $1 \times 4$ que contiene las potencias sucesivas de $x_{0}$ por el vector de coeficientes del polinomio, de la siguiente manera:

[\begin{matrix} f (x_{0}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & x_{0}^{1} & x_{0}^{2} & x_{0}^{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]

Evaluación en dos puntos

Para evaluar en dos puntos, $x_{0}$ y $x_{1}$ , podríamos expresar esto como dos productos matriciales separados. En su lugar, apilamos estos vectores fila en una matriz de $2 \times 4$ :

[\begin{matrix} f (x_{0}) \\ f (x_{1}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & x_{0}^{1} & x_{0}^{2} & x_{0}^{3} \\ 1 & x_{1}^{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]

Donde cada fila contiene las potencias sucesivas de $x_{0}$ y $x_{1}$ , respectivamente.

Por lo tanto, evaluar el polinomio en dos puntos es equivalente a multiplicar una matriz de $2 \times k = 2 \times 4$ por el vector de coeficientes.

Evaluación en $4$ puntos

Si extendemos nuestros puntos a $4$ puntos, entonces con $k = 4$ (ya asumido), el sistema de ecuaciones resultante es equivalente a multiplicar una matriz de $k \times k = 4 \times 4$ por el vector de coeficientes:

[\begin{matrix} f (x_{0}) \\ f (x_{1}) \\ f (x_{2}) \\ f (x_{3}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & x_{0}^{3} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & x_{3}^{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]

Esta matriz se llama matriz de Vandermonde de $4 \times 4$ y se denota por $𝐕$ .

La ecuación anterior se escribe de forma compacta a continuación como

𝐩 = 𝐕 \cdot 𝐚

donde $𝐚$ es el vector de los coeficientes del polinomio y $𝐩$ es el vector de sus valores en los puntos.

Evaluación del polinomio en las raíces cuartas de la unidad como producto matricial

Ahora, considere la evaluación del polinomio $f (x)$ en las raíces cuartas de la unidad, ${ω^{0}, ω^{1}, ω^{2}, ω^{3}}$ , en lugar de en $4$ puntos arbitrarios. Obtenemos la matriz de Vandermonde $𝐕$ como:

𝐕 = [\begin{matrix} 1 & 1^{1} & 1^{2} & 1^{3} \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & (ω^{2}) & {(ω^{2})}^{2} & {(ω^{2})}^{3} \\ 1 & (ω^{3}) & {(ω^{3})}^{2} & {(ω^{3})}^{3} \end{matrix}]

Podemos simplificar cada término que sea $ω^{\frac{k}{2}}$ o mayor, aprovechando las propiedades de que $ω^{\frac{k}{2}} = ω^{2} = - 1$ y $ω^{k} = 1$ de la siguiente manera:

$ω^{2} \equiv - 1$ implica que ${(ω^{2})}^{2} \equiv {(- 1)}^{2} = 1$ y ${(ω^{2})}^{3} \equiv {(- 1)}^{3} = - 1$ .
$ω^{3} = ω^{2} \cdot ω \equiv - 1 \cdot ω = - ω$ implica que:
- ${(ω^{3})}^{2} \equiv {(- ω)}^{2} = ω^{2} \equiv - 1$ y
- ${(ω^{3})}^{3} \equiv {(- ω)}^{3} = - ω^{3} = - (- ω) = ω$ .

Ahora sustituimos estas simplificaciones en la matriz:

𝐕 = [\begin{matrix} 1 & 1^{1} & 1^{2} & 1^{3} \\ 1 & ω & ω^{2} \equiv - 1 & ω^{3} \equiv - ω \\ 1 & (ω^{2}) \equiv - 1 & {(ω^{2})}^{2} \equiv 1 & {(ω^{2})}^{3} \equiv - 1 \\ 1 & (ω^{3}) \equiv - ω & {(ω^{3})}^{2} \equiv - 1 & {(ω^{3})}^{3} \equiv ω \end{matrix}]

Por lo tanto, la matriz se simplifica al siguiente patrón:

𝐕 = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & - 1 & - ω \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - ω & - 1 & ω \end{matrix}]

Para un ejemplo concreto, $ω = 13$ es una raíz cuarta primitiva de la unidad en el campo finito $𝔽_{17}$ (donde la aritmética es módulo 17), y la matriz de Vandermonde es:

𝐕 = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 13 & 16 & 4 \\ 1 & 16 & 1 & 16 \\ 1 & 4 & 16 & 13 \end{matrix}]

Conclusión

Evaluar un polinomio de grado $k - 1$ en $k$ puntos es equivalente a multiplicar una matriz de Vandermonde $𝐕$ de $k \times k$ por el vector de coeficientes $𝐚$ , formalizado por la ecuación $𝐕 \cdot 𝐚 = 𝐩$ .